Équation du troisième degré

Énoncé

Au 16^e  siècle, les mathématiciens italiens Niccolo Fontana (dit Tartaglia ) et Jérôme Cardan ont élaboré une méthode pour résoudre les équations du troisième degré de la forme 
\(x^3+px+q=0\) avec \(p \in \mathbb{R}\) et \(q \in \mathbb{R}\) .

En particulier, ces équations possèdent au moins une solution réelle  \(x_0\) donnée par la formule :
\(x_0=\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}-\sqrt{\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}+\sqrt{\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}}}\)  (formule de Cardan).

1. À l'aide de la formule de \(x_0\) , retrouver une solution de l'équation \(x^3-3x+2=0\) .

2. Montrer que pour l'équation \(x^3-15x-4=0\) , la formule de \(x_0\) donne : \(x_0 =\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}\) .  
Cette formule fait apparaître la racine carré du nombre \(-121\) , qui est strictement négatif.

Afin de tenter de rendre générale la formule de Cardan, le mathématicien Raphaël Bombelli a introduit un nombre, noté ensuite \(i\) , et vérifiant \(i^2=-1\) . L'idée est ensuite d'utiliser les mêmes règles de calcul que dans \(\mathbb{R}\) . Ainsi,  \(-121\) est donc le carré de \(11i\) , car   \((11i)^2=11^2 \times i^2 = 121 \times (-1) = -121\) .

3. Montrer alors que : \((2+i)^3=2+11i\)  et \((2-i)^3=2-11i\) .

4. Quelle est alors la solution réelle donnée par la formule de Cardan ?